Решить тригонометрическое уравнение

Решить уравнение 2(2 cos 4x + 1)∙cos x = 1.

Решение:

(№681 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить используя тождественные преобразования (метод тождественных преобразований).

4 cos 4x ∙ cos x + 2 cos x = 1,

cos 5x + cos 3x + 2 sin π/6 ∙ cos x = 1/2,

cos 5x + cos 3x + cos x = 1/2,

2 sin x ∙ cos 5x + 2 sin x ∙ cos 3x + 2 sin x ∙ cos x = (1/2) ∙ 2 sin x,

sin 6x – sin x = 0,

2 cos(7x/2) ∙ sin(5x/2) = 0.

Решив последнее уравнение, получаем:

а) x = (2k + 1)π/7, k Є Z;

б) x = (2nπ)/5, n Є Z.

2k + 1 не должно делиться на 7, а n на 5.

Ответ: x = (2k + 1)π/7, k = 7l + s, l Є Z, s = 0, 1, 2, 4, 5, 6; x = (2nπ)/5, n = 2m + r, m Є Z, r = 1, 2, 3, 4.