Тригонометрическое уравнение с параметром

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

cos x – │sin ax│= 1

имеет единственное решение.

Решение:

(№484 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

cos x– 1 =│sin ax│≥ 0, значит cos x≥ 1 следовательно, можно записать следующую систему: .

Решение последнего уравнения системы x = 2πn, nЄZ, подставим его во второе уравнение:

sin2πna = 0, 2πna = πk, nЄZили 2na = k.

Возможно два случая:

1) а – рациональное число: целых чисел n, что , и значит решений данного уравнения бесконечно много;

2) а – иррациональное число: возможна только адна ситуация, если данное уравнение имеет решение при n = 0.

Ответ: а – иррациональное число.