Доказать, что для любых положительных чисел выполняется неравенство
Доказать, что для любых положительных чисел a1, a2, ... , an выполняется неравенство
a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + … + an-2/(an-1+an) + an-1/(an+a1) > n/4.
Решение:
(№829 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Выберем — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем , — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем и — наибольшее из чисел в знаменателе дроби с числителем.
В конце концов мы придем к:.
Если номера 1, 2, 3, …, n разместить по кругу, то ik+1 и ik (ik и i1) будут стоять рядом или через одного, r ≥ n/2.
Данная сумма больше чем
.
Поскольку среднее арифметической не меньше чем среднее геометрическое, то uuuuuuur48, или S ≥ r. Значит данная сумма не более чем n/4.