Комплексный мир Роджера Пенроуэа
На последнем математическом конгрессе, который проходил в Хельсинки летом 1978 г., Роджер Пенроуз сделал пленарный доклад «Комплексная геометрия реального мира». Основная идея Пенроуза заключалась в том, что точки четырехмерного пространства-времени Минковского или Евклида (в евклидовой теории поля) естественно интерпретировать как комплексные прямые в трехмерном комплексном пространстве. Эта идея разрабатывалась Пенроузом в течение ряда лет в рамках его «твисторной программы» (твисторами он называет точки вспомогательного трехмерного комплексного пространства). Незадолго перед конгрессом появились первые результаты, которые уже нельзя было рассматривать, как чисто интерпретационные (инстантонные решения уравнения Янга — Миллса и комплексные автодуальные решения уравнения Эйнштейна).
Что касается подхода Пенроуза, то он по существу не был новым: комплексная реализация пространства Минковского содержалась в теории однородных многообразий, восходящей к Эли Картану (1869— 1951). Однако существенно не само по себе геометрическое наблюдение, а идея сделать его систематическим источником аналитических конструкций, а именно интегральных представлений для решений некоторых важных линейных и нелинейных уравнений математической физики. По счастливой случайности именно в это время в математике (алгебраической геометрии и теории функций многих комплексных переменных) появился весьма неэлементарный аппарат, необходимый для реализации этих планов, — расслоения над проективным пространством, когомологии Коши — Рима на.
Возвращаясь к геометрической идее Пенроуза, вероятно, нельзя не удивиться тому, что при изучении совершенно вещественного объекта — пространства- времени— появляются комплексные образования. Впрочем геометрам второй половины XIX в. такая возможность не показалась бы удивительной. Конструкция Пенроуза связана с математическими идеями, которым более ста лет и которые в последние десятилетия незаслуженно (быть может из-за большой конкретности) стали забывать. Речь идет об идее Юлиуса Плюккера (1801—1868) рассматривать пространство, элементами (точками!) которого являются прямые из обычного трехмерного пространства. Эта идея разрабатывалась Плюккером на протяжении многих лет и в окончательном виде содержалась в посмертно изданном в 1868—1869 гг. Ф. Клейном и Р. Клебшем мемуаре «Новая геометрия пространства, основанная на рассмотрении прямой линии в качестве пространственного элемента». Размерность пространства прямых равна четырем, и это, вероятно, первое четырехмерное пространство, появившееся в науке. Кажется удивительным, что в период появления четырехмерия в теории относительности и всеобщего увлечения четырехмерными образованиями никто не сопоставил четырехмерие Минковского с появившимся на 50 лет раньше четырехмерием Плюккера. В некотором смысле это и сделал Пенроуз (еще через 50 лет). Попытаемся и мы проследить возможный путь от Юлиуса Плюккера к Герману М инковскому (1864—1909), но для этого припомним еще более ранние события.