«Золотой век геометрии»
«Золотой век геометрии». Так Н. Бурбаки назвал XIX в.— век развития проективной геометрии с ее фантастическим полетом геометрической интуиции и мощными аналитическими методами. Ведущее место проективной геометрии в геометрии XIX в. было бесспорным. Характерно, что признание неевклидовой геометрии многими математиками было связано с реализацией ее как части проективной геометрии (интерпретация Клейна). Но зародилась проективная геометрия (ее называли еще «новой геометрией») гораздо раньше.
Лионский архитектор Жерар Дезарг (1593—1662) опубликовал в 1639 г. брошюру «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью». Дезарг строил теорию перспективы и изучал центральную проекцию одной плоскости на другую. Заметив, что при этом на первой плоскости есть точки, которые никуда не проектируются, а на второй — точки, в которые не проектируются никакие точки, он решил исправить это, введя идеальные бесконечно удаленные точки на плоскости. В модернизированном виде его идея состоит в том, что все параллельные между собой прямые «пересекаются» в одной общей «бесконечно удаленной» точке, а все бесконечно удаленные точки на плоскости образуют одну бесконечно удаленную прямую, которой следует расширить плоскость. На расширенной (проективной) плоскости все утверждения о параллельности превращаются в частный случай обычных утверждений о пересечении прямых, которые к тому же не имеют ограничений (любые две различные прямые пересекаются в единственной точке, быть может, бесконечно удаленной).
Идеи проективной геометрии воспринимались с большим трудом, к тому же и Дезарг не смог придать им удобную для понимания форму. Среди участников кружка Марена Мерсенна (1588—1648)—предвестника Парижской Академии наук — он нашел лишь одного последователя. Это был 16-летний Блез Паскаль (1623—1662), доказавший знаменитую теорему о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Техника проективной геометрии позволила Паскалю свести общий случай к случаю окружности, так как по определению любое коническое сечение получается из окружности в peзультате центрального проектирования. Вообще, основные планы Дезарга и Паскаля состояли в том, чтобы с помощью проективной геометрии пролить свет на теорию конических сечений Аполлония — вершину греческой геометрии. Уже давно новая европейская математика, имевшая огромные успехи в алгебре и анализе, стремилась «сразиться» с великими греками на их собственной территории—геометрии. Казалось, что Дезарг и Паскаль достигли успеха, но ... сочинений Дезарга никто не мог понять, а Паскаль так и не закончил своего всеобъемлющего сочинения по проективной геометрии, оставив потомкам лишь маленькую афишу со своей теоремой о шестиугольнике. Об их работах забыли на 200 лет, а когда благодаря Мишелю Шалю (1793—1880) вспомнили, большинство результатов было открыто заново.