Замечание об аналитических приложениях

Замечание об аналитических приложениях. Поучительность изложенной геометрической картины не вызывает сомнений. Но, как уже отмечалось, в рамках теории Пенроуза она лишь повод для новых аналитических построений. К сожалению, мы имеем возможность лишь очень поверхностно остановиться на них. Идея Пенроуза заключается в том, что аналитическим объектам на четырехмерном многообразии М(в евклидовой теории на (S)) должны соответствовать в некотором смысле эквивалентные объекты на N или CP3-

Эти объекты должны быть проще, чем их двойники на М, (S), и значительная часть уравнений математической физики на М, (S) является просто следствием того, что объекты, первоначально заданные на трехмерном многообразии, каким-то путем переносятся на четырехмерное многообразие. Следует отметить, что многие дифференциальные уравнения возникают как соотношения при переходе (интегральном преобразовании) на многообразия большего числа измерений. Это важный и пока недостаточно изученный источник получения и решения уравнений. В простейшем примере, который принадлежит Фрицу Й о н у, при интегрировании функции в трехмерном пространстве (вещественном) по прямым получаем на четырехмерном пространстве прямых решения некоторого (ультрагиперболического) дифференциального уравнения второго порядка. Пенроуз и его последователи сталкиваются с аналогичными эффектами в более сложной комплексной ситуации. Поэтому приходится иметь дело не с функциями, а со значительно более сложным объектом—когомологнями. Оказалось, что при переходе от М, (S) к CP3 действительно получаются более простые и классические уравнения: какой-то вариант уравнений Коши—Римана из теории аналитических функций. При этом удалось рассмотреть не только линейные уравнения математической физики (Дирака — Вейля, Максвелла, линеаризованное уравнение Эйнштейна), но и некоторые нелинейные (Янга— Миллса).