Квадрат на плоскости
На координатной плоскости расположен квадрат ABCD так, что его сторона АВ лежит на прямой у = х + 8, а вершины С и D - на графике функции у = х2. Найдите длину стороны квадрата.
Решение:
Так как прямая у = х + 8 пересекает ось Ох под углом π/4, то диагонали квадрата параллельны координатным осям. Будем считать для определенности, что диагонали АС и BD параллельны осям Ох и Оу со¬ответственно (рисунок). Пусть А(х1; у2), В(х2; у2), С(х3; у3), D(x4; у4). Тогда х2=х4, y1 = y3.
Положим х2 = х4 = t и выразим координаты всех вершин квадрата ABCD через t. По условию у2 = х2 + 8 = t + 8. у4 = х42 = t2, у3= x32 и x1 = y1 - 8 = y3 - 8 = x32 - 8, так как у1= у3, а у3=х32.
Угловой коэффициент k прямой CD равен 1. Поэтому k = (y4 - y3)/(x4 - x3) = 1, то есть y3 - y4 = x3 - x4 и тогда x32 - t2, откуда x3 + t = 1 или x3 = 1 - t (так как x3 - t = x3 - x4 ≠ 0).
Диагонали квадрата точкой их пересечения делятся пополам. Поэтому x4=(x1+x3)/2, то есть 2t=x1+1-t. Но x1=x32-8=(1-t)2-8=t2-2t-7. Следовательно, 2t=t2-2t-7+1-t или t2-5t-6=0. Это уравнение имеет корни t1=6, t2=-1.
Если t = 6, то x2 = x4 = t = 6, x3 = 1 - t = -5, x1 = x32 - 8 = 17, y2 = x2 + 8 = 14, y3 = x32 = 25, y1 = y3 = 25, y4 = t2 = 36. В этом случае квадрат ABCD расположен так, как показано на рисунке ниже. Тогда BD = y2 - y4 = 7 - 1 = 6, АВ = BD/√2 = 3√2.
Ответ: 11√2 или 3√2.
Много задач с решениями на координатную плоскость смотрите здесь.