Квадрат на плоскости

На координатной плоскости расположен квадрат ABCD так, что его сторона АВ лежит на прямой у = х + 8, а вершины С и D - на графике функции у = х2. Найдите длину стороны квадрата.
Решение:

Так как прямая у = х + 8 пересекает ось Ох под углом π/4, то диагонали квадрата параллельны координатным осям. Будем считать для определенности, что диагонали АС и BD параллельны осям Ох и Оу со¬ответственно (рисунок). Пусть А(х1; у2), В(х2; у2), С(х3; у3), D(x4; у4). Тогда х24, y1 = y3.
Положим х= х= t и выразим координаты всех вершин квадрата ABCD через t. По условию у2 = х2 + 8 = t + 8.  у4 = х42 = t2, у3= x32 и x= y- 8 = y- 8 = x3- 8, так как у1= у3, а у332.

Угловой коэффициент k прямой CD равен 1. Поэтому k  = (y- y3)/(x- x3) = 1, то есть y- y= x- x4 и тогда x3- t2, откуда x+ t = 1 или x= 1 - t (так как x- t = x- x4 ≠ 0).

Диагонали квадрата точкой их пересечения делятся пополам. Поэтому x4=(x1+x3)/2, то есть 2t=x1+1-t. Но x1=x32-8=(1-t)2-8=t2-2t-7. Следовательно, 2t=t2-2t-7+1-t или t2-5t-6=0. Это уравнение имеет корни t1=6, t2=-1.

Если t = 6, то x= x= t = 6, x= 1 - t = -5, x= x3- 8 = 17, y= x+ 8 = 14, y= x3= 25, y= y= 25, y= t= 36. В этом случае квадрат ABCD расположен так, как показано на рисунке ниже. Тогда BD = y- y4 = 7 - 1 = 6, АВ = BD/√2 = 3√2.


Ответ: 11√2 или 3√2.

Много задач с решениями на координатную плоскость смотрите здесь.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт