Методы решения олимпиадных задач по математике

• Связь алгебраических и геометрических интерпретаций

Почти всегда при решении задач по геометрии приходится обращаться к использованию алгебры. Создается алгебраическая модель геометрической ситуации, которая исследуется и позволяет ответить на вопрос, который поставлен в задаче.

Задачи: 644, 321, 1094, 410, 679, 483, 1050, 541, 235.

• Тождественные преобразования

Осуществляя тождественные преобразования, можно свести сложные выражения к более простым или к таким, которые более тесно связаны с тем, что требуется найти в задаче.

Задачи: 642, 1200, 911, 409, 681, 146, 360, 912, 540.

• Делимость

Во множестве целых чисел операция деления выполняется не всегда. Анализ условий, при которых эта операция осуществляется, использование свойств делимости и позволяет получить информацию про общую ситуацию, которая может оказаться полезной при ответе на вопрос задачи.

Задачи: 770, 722, 643, 953.

•  Метод бесконечного спуска

Анализ ситуации, поставленной в задаче, позволяет заметить возможность организации бесконечного процесса. Исследование условий, при которых этот бесконечный процесс возможен, позволяет получить дополнительную информацию, которая оказывается полезной при решении задачи.

Задачи: 236, 187.

• Переход к новым переменным

Соотношения, описанные в условии задачи, выражаются формулами, которые связывают конкретные характеристики объектов. От вода формулы зависит ее исследование. Формула может упроститься, если выбрать иные характеристики, новые переменные.

Задачи: 234, 593, 485, 1505, 772, 954, 359.

• Сведение к квадратному уравнению

Решение многих сложных уравнений можно свести к исследованию квадратных уравнений, при этом используются связи между корнями и коэффициентами, условие существования корней.

Задачи:145, 1093, 827, 361, 773.

• Метод индукции

Индукция позволяет после разбора нескольких частных случаев выделить определенную гипотезу, которая может помочи провести анализ общей ситуации

Задачи: 412, 641, 1048.

• Инвариант и полуинвариант

Инвариант – это то, что на изменяется в некотором процессе. Полуинвариант – это то, что в некотором процессе изменяется в одну сторону (возрастает или убывает). Нестандартные задачи на инвариант (полуинвариант) можно условно разбить на два вида: те, в которых требуется доказать инвариантность данной величины, и те, в которых инвариант используется при решении и сразу не очевиден. Принцип решения задач основан на поиске действий, которые относятся к задаче (инвариант объекта). Стандартным является рассуждение: пусть на некотором шаге получился объект А. Осуществим над ним допустимые действия и получим объект В. Что в них общее? Что изменилось? Принцип применения инварианта часто остается непонятным и тяжелым для учеников. Поэтому нужно обратить особое внимание на усвоение самой логики применения инварианта.

Главное в решении подобных задач – придумать сам инвариант. Это настоящее искуство, которым можно овладеть только имея опыт решения таких задач.

Задачи: 188, 1095, 682, 590.

• Метод оценки

Этот метод связан с определенным огрублением условия, переходом к неравенствам, которые сохраняют основные соотношения между объектами.

Задачи: 320, 680, 1571, 272, 1049, 1572, 955, 829, 721, 1327, 1004, 1005, 1506, 484, 909, 1504.

• Рассмотрение частных случаев

Данная идея связана с использованием конкретизации условия задачи и анализом связей между рассмотренными случаями и общей ситуацией.

Задачи: 1328, 542, 592, 828, 720, 324, 1201, 543, 186.

• Внутренняя симметрия

Внутренняя симметрия проявляется тогда, когда определенные преобразования не нарушают отношений между величинами задачи.

Задачи: 273, 323, 147, 771, 358, 826, 271, 910, 952, 1199, 719, 322, 144, 1006.