Что такое описанная около треугольника окружность и вписанная окружность

Мы знаем, что геометрическое место точек, которые равноудаленны от вершин треугольника, является центр описанной около треугольника окружности — этот центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Найдем теперь геометрическое место точек, равноудаленных от сторон треугольника. Пусть дан треугольник DEF.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон DE и DF, является биссектриса l угла EDF, а геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон DE и EF, — биссектриса k угла DEF. Каждая точка биссектрисы l равноудалена от сторон DE и DF, а каждая точка биссектрисы k — от сторон DE и EF. Тогда общая точка этих биссектрис — точка Р — равноудалена от всех трех сторон DE, DF и EF. Точка Р — искомое геометрическое место.

Перпендикуляры РМ, PN, PQ, опущенные из точки Р на стороны треугольника DEF, равны друг другу. Если построить окружность с центром Р и радиусом РМ, то она пройдет через все три точки М, N, Q. При этом, поскольку радиусы РМ, PN, PQ этой окружности перпендикулярны к сторонам DE, EF, FD треугольника DEF, то эти стороны являются касательными к проведенной окружности.

Окружность, которая касается всех сторон треугольника, называется вписанной окружностью.