Что такое движения плоскости: центральная и осевая симметрия

Если каждой точке из плоскости можно поставить в соответствие точку из этой же плоскости, причем этим сопоставлением все точки плоскости исчерпываются, то перед нами отображение плоскости на себя. Любое отображение плоскости на себя, сохраняющее  расстояния между точками, есть движение плоскости.

Точки А и А₁ являются симметричными относительно прямой а, если она проходит через центр отрезка АА1, и если она расположена под прямым углом к этому отрезку. Все точки рассматриваемой прямой а считается симметричными сами себе.

Фигура считается симметричной относительно прямой а, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для нее точка относительно прямой а также находится на этой фигуре. Прямая а является в этом случае осью     симметрии фигуры (фигура с осевой симметрией). Фигуры, с осевой симметрией, приведены на рисунке.

Для неразвернутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла. Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии, для равностороннего треугольника — три оси. Для прямоугольника и ромба существует две оси симметрии, а для квадрата — целых четыре. Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры. Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Две точки А и A₁ симметричны относительно точки О, если она является центром отрезка АА1 (смотри первый рисунок). Точка О является симметричной самой себе.

Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Точка О это центр симметрии (фигура с центральной симметрией). Есть фигуры с центральной симметрией это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это ее центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали.

Множество окружающих нас предметов имеют центр или ось симметрии. С симметрией приходится часто встречаться в искусстве, архитектуре, технике.

Поскольку осевая симметрия представляет отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками, она является движением плоскости (поворот плоскости в пространстве на развернутый угол вокруг прямой а).

Центральная симметрия плоскости есть движение.

Теорема: при движении точки, которые лежат на прямой, отображаются в точки, которые находятся на прямой, при этом сохраняется последовательность их расположения друг относительно друга. Это означает, что если точки А, В, С одной прямой, отображаются в  некоторые точки А₁, В₁, С₁ то эти данные также будут лежать на прямой; если точка В находится  между точками А и С, то точка В₁ также находится между точками А₁ и С₁.

Во время движения прямая, превращается в прямую, отрезок, треугольник отображается в равный для него треугольник, отображается на отрезок, луч отображается на луч,  угол отображается  на такой же угол.

Всякое движение переводит параллельные прямые в параллельные, а перпендикулярные прямые — в перпендикулярные.

Два движения, выполненные последовательно, снова дают движение.

Движения плоскости - параллельный перенос, поворот, преобразование подобия и гомотетия, что это.