Числа удовлетворяют условию. Доказать неравенство

Числа a и b удовлетворяют условию a2010 + b2010 = a2008 + b2008. Доказать, что a2 + b2 ≤ 2.

Решение:

(№1049 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Перегруппируем слагаемые следующим образом:

a2008(a2 - 1)= b2008(1 -b2), тогда a2008/b2008 = (1 -b2)/(a2 - 1)≥0.

 Возможны следующие случаи:

а) , a2/ b2≥1, (1 - b2)/( a2 - 1) ≥1;

б) , (-1+b2)/(-a2 + 1)≤1.

В итоге получаем a2+ b2≤ 2, что и требовалось доказать.

Еще задачи с решениями по математике читайте на этом сайте.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым