Число есть степень двойки

 Доказать, что если число 2^р + 1 является простым, то показатель p есть степень двойки.

Решение:

(№722 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя свойства делимости.

Допустим, что p ≠ 2^k, это означает, что p можно представить в виде p = mn, где m – нечетное число.

Имеем 2^р + 1 = 2^mn + 1 = (2ⁿ)^m + 1^m = (2ⁿ + 1)((2ⁿ)^m-1 – (2ⁿ)^m-2 + … + 1), отметим, что ((2ⁿ)^m-1 – (2ⁿ)^m-2 + … + 1)ЄZ, а 2ⁿ + 1 < 2^р + 1, т. к. n< p.

Получили, что число 2^р + 1  – составное, если p ≠ 2^k. Значит, если число из условия является составным, то показатель p есть степень двойки.