Какое наибольшее количество королей

Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы ровно половина из них не угрожала никому из остальных?

Решение. Пусть на доске уже расставлено несколько королей с соблюдением указанных условий. Будем считать белыми королей, которые никому не угрожают (значит, и им никто не угрожает), а черными — королей, которые кому-то угрожают (следовательно, им угрожают только другие черные короли).

Заметим, что можно расставить 24 короля (по 12 каждого цвета). Один из способов (здесь белые и черные короли обозначены буквами «Б» и «Ч» соответственно) показан на рисунке:

Докажем, что число королей каждого цвета не может превышать 12. Допустим обратное — что королей каждого цвета может быть не меньше 13. Разобьем доску на 16 квадратов 2x2. Заметим, что в каждом квадрате может стоять не более одного белого короля (иначе какие-то два будут угрожать друг другу). При этом, если в квадрате стоит белый король, то ни одного черного короля в этом же квадрате быть не может.

Если в 16 квадратах 2x2 содержится в общей сложности не менее 13 белых королей, причем в каждом квадрате — не более одного короля, то квадратов, не содержащих белых королей, не более 3. В каждом из таких «свободных» квадратов может находиться не более четырех черных королей, а всего — не более 12, а должно быть не меньше 13. Противоречие. Следовательно, предположение было неверным, и расставить больше 12 королей каждого цвета нельзя.

Ответ. 24 короля.