Окружности проходят через точку A

В треугольнике ABC угол A равен a. Окружности с центрами O1 и O2 проходят через точку A и касаются стороны BC в точках B и C. Определите угол O1PO2, где — еще одна кроме A общая точка окружностей.

Решение:

(№271 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Рассмотрим треугольник АВС: a + x + y = 180° (*). Точки В и С – точки касания окружностей и прямой ВС.

Из рисунка видно, что, сложим эти неравенства:

x + y + a1 + a2 = 180° (**).

 Из (*) и (**) получаем, что a = a1 + a2.

ΔO1AOΔO1PO2 (по двум сторонам: O1= ВO1, O2= СOрадиусы окружностей, O1O2 – общая). Получаем, что O1AO2 = O1PO2, тогда O1PO2 = a + a1 + a2 = 2a.

Ответ: 2a.

Нестандартные задачи про окружность с решением и подробным описанием здесь.

 

Оставь комментарий первым

 

 

Поддержи сайт