Окружности проходят через точку A
В треугольнике ABC угол A равен a. Окружности с центрами O1 и O2 проходят через точку A и касаются стороны BC в точках B и C. Определите угол O1PO2, где P — еще одна кроме A общая точка окружностей.
Решение:
(№271 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.
Рассмотрим треугольник АВС: a + x + y = 180° (*). Точки В и С – точки касания окружностей и прямой ВС.
Из рисунка видно, что, сложим эти неравенства:
x + y + a1 + a2 = 180° (**).
Из (*) и (**) получаем, что a = a1 + a2.
ΔO1AO2 = ΔO1PO2 (по двум сторонам: O1A = ВO1, O2A = СO2 радиусы окружностей, O1O2 – общая). Получаем, что ﮮO1AO2 = ﮮO1PO2, тогда ﮮO1PO2 = a + a1 + a2 = 2a.
Ответ: 2a.
Нестандартные задачи про окружность с решением и подробным описанием здесь.