Длины высот треугольника — целые числа

Радиус вписанной в треугольник окружности равен 1, а длины высот треугольника — целые числа. Докажите, что этот треугольник правильный.

Решение:

(№483 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Пусть стороны треугольника равны a, b, c.

Тогда 2S = aha = bhb = chc = a + b + с, , 1 = .

1) Пусть  ha < hb < hc, тогда 1< , 1< 3/ha, ha < 3.

Неравенство треугольника  a< b + c для ,, 1 > 2/ha, ha >2, тогда 2 < ha < 3, но по условию ha — целое число, значит треугольник не произвольный.

2) Пусть ha < hb = hc. В этом случае получим, как и в случае произвольного треугольника, что ha— не целое число.

3) Пусть ha  =  hb< hc. В этом случае получим, как и в случае произвольного треугольника, что ha— не целое число.

4) Остается ha  =  hb= hc. Тогда 1 = 3/ha, ha  =  3, то есть h— целое число, где i = a, b, c. Это означает, что a = b = c, этот треугольник правильный.

Решай больше задач по математике.

Подобрать репетитора

Форма подбора репетитора


 

 

 

 

 

 

Оставь комментарий первым